概率论06 连续分布

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随机变量 中,我提到了连续随机变量。相对于离散随机变量,连续随机变量可以在一个连续区间内取值。比如一个均匀分布,从0到1的区间内取值。一个区间内包含了无穷多个实数,连续随机变量的取值就有无穷多个可能。

为了表示连续随机变量的概率分布,我们可以使用累积分布函数或者密度函数。密度函数是对累积分布函数的微分。连续随机变量在某个区间内的概率可以使用累积分布函数相减获得,即密度函数在相应区间的积分。

在 随机变量 中,我们了解了一种连续分布,即均匀分布(uniform distribution)。这里将罗列一些其他的经典连续分布。

指数分布

指数分布 (exponential distribution)的密度函数随着取值的变大而指数减小。 指数分布的密度函数为:

mathmatic-code123-0601

累积分布函数为:

mathmatic-code123-0602

我们绘制一个指数分布λ=0.2,如下:

这样一种分布在生活中很常见。比如,洪水等级的分布就类似于这样一个分布。小等级的洪水常发生,而大洪水发生的概率则很小。再比如,金矿的分布:大部分矿石的含金量少,而少部分矿石的含金量高。这提醒我们,一些特殊的条件导致了指数分布。感兴趣的话可以学习“随机过程”这一数学分支。

代码如下:

上面的expon函数接收一个参数scale。参数scale等于1/λ

指数分布是无记忆(memoryless)的。我们以原子衰变为例。任意时刻往后,都需要10年的时间,会有一半的原子衰变。已经发生的衰变对后面原子衰变的概率分布无影响。用数学的语言来说,就是

P(X>s)=P(X>s+t|X>t)for  s,t0

等式的左边是原子存活了s的概率。而等式的右边是某一时刻t之后,原子再存活s时间的概率。可以利用指数分布的累积分布函数,很容易的证明上面的等式。指数分布经常用于模拟人的寿命或者电子产品的寿命,这意味着我们同样假设这些分布是无记忆的。一个人活10年的概率和一个人到50岁后,再活10年的概率相等。这样的假设有可能与现实情况有所出入,需要注意。

正态分布

正态分布 (normal distribution)是最常用到的概率分布。正态分布又被称为 高斯分布 (Gaussdistribution),因为高斯在1809年使用该分布来预测星体位置。吐槽一句,第一个提出该分布的并不是数学王子高斯,而是法国人DeMoivre。作为统计先驱,这位数学家需要在咖啡馆“坐台”,为赌徒计算概率为生。(看来法国咖啡馆不止有文艺青年,也有技术屌丝啊。)

Abraham De Moivre

Gauss

正态分布的发现来自于对误差的估计。早期的物理学家发现,在测量中,测量值的分布很有特点:靠近平均值时,概率大;远离平均值时,概率小。比如我们使用尺子去测量同一个物体的长度,重复许多次。如果没有系统误差,那么测量到的长度值是一个符合正态分布的随机变量。再比如,在电子信号中白噪音,也很有可能符合正态分布。 DeMoivre最早用离散的二项分布来趋近这一分布,而 高斯给出了这一分布的具体数学形式。

正态分布自从一出生就带着无比强大的“主角光环”,它的特殊地位在后面文章中的中心极限定理中凸显出来。

正态分布的密度函数如下:

mathmatic-code123-0603

正态分布有两个参数,μσ。我们可以将正态分布表示成N(μ,σ)。当μ=0σ=1,这样的正态分布被称作标准正态分布(standard normal distribution)。

我们绘制三个正态分布的密度函数:

可以看到,正态分布关于x=μ对称,密度函数在此处取得最大值,并随着偏离中心而递减。如果以测量长度为例,这说明的读取值靠近μ的可能性较大,而偏离μ的可能性变小。

σ代表了概率分布的离散程度。σ越小,概率越趋近对称中心x=μ

代码如下:

正态分布在统计中有非常重要的地位。我们将在后面的中心极限理论的讲解中,看到这一点。

Gamma分布

Gamma分布在统计推断中具有重要地位。它的密度函数如下:

mathmatic-code123-0604

其中的Gamma函数可以表示为:

mathmatic-code123-0605

注意到,Gamma分布有两个控制参数αλ

练习,利用scipy.stats.gamma绘制α=1,λ=1α=5,λ=1的Gamma分布密度函数。

总结

我们研究了三种连续随机变量的分布,并使用概率密度函数的方法来表示它们。密度函数在数学上比较容易处理,所以有很重要的理论意义。

密度函数在某个区间的积分,是随机变量在该区间取值的概率。这意味着,在密度函数的绘图中,概率是曲线下的面积。

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文/ Vamei

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