关于圆的定义

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http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/01/what_is_a_circle.html

昨天,我读到一篇文章,很赞同它的观点。

科学认识形成于直观的想法,但是最终要用抽象的公式来表达。

Conception is about ideas, but formulas are the way to express them.

作者举了一个圆的例子,来说明这一点。

圆形可能是人类最先认识的形状。我们从直观的体验,就可以马上说出,什么是圆的。比如,苹果是圆的,轮子是圆的,太阳是圆的,等等。

但是,如果要从学术的角度,严密地定义圆,就不是那么简单了。原作者举出了5种定义,可以看到,随着定义越来越严密,圆形的概念也变得越来越抽象。

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定义一:圆是最对称的2维平面图形。

通过中心的任意一条直线,都可以将圆形分成完全相等的二部分。

定义二:在相同周长的情况下,面积最大的图形就是圆。

或者说,在相同面积的情况下,周长最短的图形就是圆。

有一道常见的面试题,问的是”为什么下水道的盖子是圆的?”理由有两个,一是给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的;二是圆的直径都相等,因此不会掉进下水道。

定义三:任意一条切线,都垂直于”切点的位置向量”的图像就是圆。

说实话,这一条好像更像圆的性质,而不像定义。

定义四:满足公式x²+y²=r²(r为大于0的已知实数)的所有点(x,y)的集合就是圆。

这种定义就是”到定点距离等于定长”的解析几何版本。

定义五:满足x=r*sin(t)、y=r*cos(t)的所有点(x,y)的集合就是圆。(r为大于0的已知实数,t为任意实数。)

这种定义给出了圆的参数方程形式。

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定义一只是在描述一种形状,到了定义五,就变成在描述一种纯数学关系。越是后面的定义,就越严密和越抽象。这正好同人类对圆的认识历史相一致。

马克思说过:”一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”只有当人类可以用方程来描述圆时,人类对圆的认识才真正地完善。

在我看来,这是科学发展的一般规律,即任何一种科学发展到成熟阶段,它的逻辑结构必定可以用数学表达出来。即使学科本身的内容无法用数学表达,但是至少内容与内容之间的逻辑关系是可以用数学表达的。也就是说,如果一门学科是真正的科学,那么这门学科的结构一定可以被数学化。

上面所说的”科学”,不仅指自然科学,也包括社会科学。为什么经济学、法学、政治学还不能被说成是真正的科学?一个原因就在于,这些学科本身的逻辑结构还不能用数学表达出来。

(完)

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